Se ha visto como ciertas funciones racionales así como algunas funciones
transcendentales, pueden expresarse como series de potencias. Ahora se demostrara
como obtener representaciones en series de potencias de funciones que tienen
derivada de todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente
diferenciales.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función
Una serie de potencias de x convergente se adapta bien al propósito de
calcular el valor de la función que representa para valores pequeños de
x (próximos a cero).
Si la serie es convergente para valores de x para los cuales
el residuo no tiende a cero al crecer n infinitamente, entonces para
tales valores de x la serie no representa la función f (x). Por
lo común es mas fácil identificar el intervalo de convergencia de la serie que
determina el intervalo para que el residuo tiende a cero: pero en los
casos sencillos los dos intervalos son idénticos. Cuando los valores de
una función y de sus derivadas sucesivas son conocidos, y son finitos para
algún valor fijo de la variable, como x=a, entonces se emplea a fin
de hallar el valor de la función para valores de x cercanos a a, y
se llama también el desarrollo de f(x) en la vecindad de x=a.
FORMULA.
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